Question

设函数f（x）=a²lnx-4x，g（x）=bx²（a≠0，b≠0，a，b∈R）．
（Ⅰ）当b=

3

2

时，函数h（x）=f（x）+g（x）在x=1处有极小值，求函数h（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）和g（x）有相同的极大值，且函数p(x)=f(x)+

g(x)

x

在区间[1，e²]上的最大值为-8e，求实数b的值（其中e是自然对数的底数）．

Answer 1

分析：（1）当b=

3

2

时，根据h（x）的解析式求得h′（x），再由h'（1）=0，求得a²的值，从而确定h′（x），再由h′（x）＞0，求得函数h（x）的增区间．
（2）根据g（x）=bx²有极大值，可得b＜0且（g（x））_极大值=0．利用导数求的 (f(x))极大值=f(

a2

4

)=a2ln

a2

4

-a2=0，可得 a²=4e，从而得到 p（x）=
4elnx-4x+bx，p′(x)=

4e

x

-4+b=0 ⇒ x=

4e

4-b

＜e．再分当

4e

4-b

≤1、当1＜

4e

4-b

＜e 两种情况，依据p（x）在区间[1，e²]上的最大值为-8e，求实数b的值．

解答：解：（1）当b=

3

2

时，∵h(x)=a2lnx-4x+

3

2

x2⇒h′(x)=

a2

x

-4+3x，由题意可得h'（1）=0，∴a²=1，
∴h′(x)=

1

x

-4+3x=

(3x-1)(x-1)

x

(x＞0)．
∴当x∈(0，

1

3

)时，h'（x）＞0⇒h（x）递增； 当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0⇒h（x）递增，
∴h（x）的递增区间为(0，

1

3

)、（1，+∞）．
（2）g（x）=bx²有极大值，则b＜0，且（g（x））_极大值=0．
∵f（x）=a²lnx-4x，f′(x)=

a2-4x

x

，
当x∈(0，

a2

4

)时，f'（x）＞0，当x∈(

a2

4

，+∞)时，f'（x）＜0，
∴(f(x))极大值=f(

a2

4

)=a2ln

a2

4

-a2=0，∴

a2

4

=e，∴a²=4e，
∴p(x)=f(x)+

g(x)

x

=4elnx-4x+bx，令 p′(x)=

4e

x

-4+b=0 ⇒ x=

4e

4-b

＜e．
（i） 当

4e

4-b

≤1，即b≤4-4e时，由p'（x）≤0⇒p（x）递减，∴（p（x））_max=p（1）=-4+b=-8e，∴b=4-8e＜4-4e，符合题意．
（ii） 当1＜

4e

4-b

＜e，即4-4e＜b＜0时，
当x∈[1，

4e

4-b

)时，p'（x）＞0⇒p（x）递增，当x∈(

4e

4-b

，e)时，p'（x）＜0⇒p（x）递减，
∴(p(x))max=p(

4e

4-b

)=4e•ln

4e

4-b

-4•

4e

4-b

+b•

4e

4-b

=-8e，花间得 ln

4e

4-b

-

4

4-b

+

b

4-b

=-2，即 ln

4e

4-b

=-1，即

4e

4-b

=

1

e

，
求得 b=4-4e²＜4-4e，不符合题意，舍去．
综上所述，b=4-8e．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的极值，属于中档题．