Question

在区间[0，1]上给定曲线y=x²，如图所示，若使图中的阴影部分的面积S₁与S₂之和最小，则此区间内的t=

 

．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用

专题：导数的综合应用

分析：先利用定积分分别表示出阴影部分的面积S₁与S₂，然后求出S₁+S₂关于t的函数解析式和定义域，利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的最小值．

解答： 解：由题意，S₁=t•t²-

∫

t 0

x²dx=t³-

1

3

t³=

2

3

t³，
S₂=

∫

1 t

x²dx-（1-t）•t²=

2

3

t³-t²+

1

3

，
S=S₁+S₂=

4

3

t³-t²+

1

3

（0≤t≤1），
S′（t）=4t²-2t=4t（t-

1

2

），
令S′（t）=0，得t=0，t=

1

2

．
∵函数在（0，

1

2

）上S′（t）＜0，在（

1

2

，1）上S′（t）＞0，
∴t=

1

2

是极小值点，
∴当t=

1

2

时，S最小，最小值面积为S（

1

2

）=

1

4

．

点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及利用导数研究函数的单调性和求函数最值，属于中档题．