Question

已知动圆P与圆F₁：（x+3）²+y²=81相切，且与圆F₂：（x-3）²+y²=1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F₂作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|²的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；
（Ⅲ）记△QMN的面积为S，求S的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由已知条件推导出|PF₁|+|PF₂|=8＞|F₁F₂|=6，从而得到圆心P的轨迹为以F₁，F₂为焦点的椭圆，由此能求出圆心P的轨迹C的方程．
（II）设直线OQ：x=my，则直线MN：x=my+3，由

x=my x2 16 + y2 7 =1

，求出|PQ|²，由

x=my+3 x2 16 + y2 7 =1

，得：（7m²+16）y²+42my-49=0，求出|MN|，由此能求出|MN|和|OQ|²的比值为一个常数

1

2

．
（III）由MN∥OQ，知△QMN的面积=△OMN的面积，由此能求出△QMN的面积的最大值．

解答： （本小题满分14分）
解：（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R
由于动圆P与圆F1：(x+3)2+y2=81相切，
且与圆F2：(x-3)2+y2=1相内切，
所以动圆P与圆F1：(x+3)2+y2=81只能内切，
∴

|PF1|=9-R |PF2|=R-1

，∴|PF₁|+|PF₂|=8＞|F₁F₂|=6…（2分）
∴圆心P的轨迹为以F₁，F₂为焦点的椭圆，
其中2a=8，2c=6，∴a=4，c=3，b²=a²-c²=7
故圆心P的轨迹C：

x2

16

+

y2

7

=1…（4分）
（II）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），
直线OQ：x=my，则直线MN：x=my+3
由

x=my x2 16 + y2 7 =1

，得：

x2= 112m2 7m2+16 y2= 112 7m2+16

，∴

x32= 112m2 7m2+16 y32= 112 7m2+16

，
∴|OQ|2=x32+y32=

112m2

7m2+16

+

112

7m2+16

=

112(m2+1)

7m2+16

，…（6分）
由

x=my+3 x2 16 + y2 7 =1

，得：（7m²+16）y²+42my-49=0，
∴y1+y2=-

42m

7m2+16

，y1y2=-

49

7m2+16

，
∴|MN|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

[(my2+3)-(my1+3)]2+(y2-y1)2

=

m2+1

|y2-y1|=

m2+1

(y1+y2)2-4y1y2

=

m2+1

(- 42m 7m2+16 )2-4(- 49 7m2+16 )

=

56(m2+1)

7m2+16

…（8分）
∴

|MN|

|OQ|2

=

56(m2+1) 7m2+16

112(m2+1) 7m2+16

=

1

2

，
∴|MN|和|OQ|²的比值为一个常数，这个常数为

1

2

…（9分）
（III）∵MN∥OQ，∴△QMN的面积=△OMN的面积，
∵O到直线MN：x=my+3的距离d=

3

m2+1

，
∴S=

1

2

|MN|•d=

1

2

×

56(m2+1)

7m2+16

×

3

m2+1

=

84 m2+1

7m2+16

，…（11分）
令

m2+1

=t，则m²=t²-1（t≥1），
S=

84t

7(t2-1)+16

=

84t

7t2+9

=

84

7t+ 9 t

，
∵7t+

9

t

≥2

7t• 9 t

=6

7

（当且仅当7t=

9

t

，即t=

3

7

，亦即m=±

14

7

时取等号）
∴当m=±

14

7

时，S取最大值2

7

．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程、直线、圆、与椭圆等椭圆知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．