Question

已知a＞0，函数f（x）=

sin π 2 x，x∈[-1，0) ax2+ax+1，x∈[0，+∞)

，若f（t-

1

3

）＞-

1

2

，则实数t的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据分段函数的表达式判断函数的单调性，根据函数的单调性将不等式进行转化即可得到结论．

解答： 解：当x∈[-1，0）时，函数f（x）=sin

π

2

x单调递增，且f（x）∈[-1，0），
当x∈[0，+∞）时，函数f（x）=ax²+ax+1的对称轴为x=-

1

2

，此时函数f（x）单调递增且f（x）≥1，
综上当x∈[-1，+∞）时，函数单调递增，
由f（x）=sin

π

2

x=-

1

2

得

π

2

x=-

π

6

，解得x=-

1

3

，
则不等式f（t-

1

3

）＞-

1

2

，等价为f（t-

1

3

）＞f（-

1

3

），
∵函数f（x）是增函数，
∴t-

1

3

＞-

1

3

，
即t＞0，
故答案为：（0，+∞）

点评：本题主要考查不等式的求解，根据条件判断分段函数的单调性是解决本题的关键．