Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a、b、c成等比数列．
（1）求角B的取值范围；
（2）若关于B的表达式cos2B-4sin（

π

4

+

B

2

）sin（

π

4

-

B

2

）+m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据余弦定理表示出cosB，再根据基本不等式求其范围即可．
（2）先将关于B的表达式cos2B-4sin（

π

4

+

B

2

）sin（

π

4

-

B

2

）+m化简成2（cosB-

1

2

）²+m-

3

2

，cos2B-4sin（

π

4

+

B

2

）sin（

π

4

-

B

2

）+m＞0恒成立即2（cosB-

1

2

）²+m-

3

2

的最小值大于0成立即可，转化成球函数2（cosB-

1

2

）²+m-

3

2

的最小值问题．

解答：解：（1）∵b²=ac
cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

当且仅当a=b=c时，cosB=

1

2

∴B∈（0，

π

3

]
（2）cos2B-4sin（

π

4

+

B

2

）cos（

π

4

-

B

2

）+m
=cos2B-4sin（

π

4

+

B

2

）sin（

π

4

+

B

2

）+m
=cos2B-2[1-cos（

π

2

+B）]+m
=2cos²B-2sinB+m-3
=2（cosB-

1

2

）²+m-

7

2

1

2

≤cosB＜1
∴2（cosB-

1

2

）²+m-

7

2

∈[m-

7

2

，m-3]
∵不等式cos2B-4sin（

π

4

+

B

2

）sin（

π

4

-

B

2

）+m＞0恒成立．
∴m-

7

2

＞0，m＞

7

2

故m的取值范围是（

7

2

，+∞）

点评：本题主要考查余弦定理和基本不等式的应用．对三角函数求解得问题时要先对其原函数进行化简．