Question

2．若将函数f（x）=1+3x⁵-2x⁷表示为f（x）=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₇（x-1）⁷，其中a₀，a₁，a₂，…，a₇为实数，则a₂=-12．

Answer 1

分析 根据x⁵+3x³+1=[1+（x-1）]⁵+3[1+（x-1）]³+1，按照二项式定理展开，和所给的等式作对比，求得a₃的值

解答 解：∵函数f（x）=1+3x⁵-2x⁷=1+3[（x-1）+1]⁵-2[（x-1）+1]⁷
=1+3-2+（3${C}_{5}^{4}$-2${C}_{7}^{6}$）（x-1）+（3${C}_{5}^{3}$-2${C}_{7}^{5}$）•（x-1）²+（3${C}_{5}^{2}$-2${C}_{7}^{4}$）•（x-1）³+…-2${C}_{7}^{0}$•（x-1）⁷，
又f（x）=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₇（x-1）⁷，
∴a₂=3${C}_{5}^{3}$-2${C}_{7}^{5}$=30-42=-12，
故答案为：-12．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．