Question

14．各项都是正数的等比数列{a_n}的公比q≠1，${a_1}，\frac{1}{2}{a_3}，{a_2}_{\;}$成等差数列，则$\frac{{{a_3}+{a_4}}}{{{a_4}+{a_5}}}$=（　　）

• A． $\frac{{-1+\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$
• D． $2+\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由a₁、$\frac{1}{2}$a₃、a₂成等差数列，即a₃=a₂+a₁，q²-q-1=0，即可求得q的值，$\frac{{{a_3}+{a_4}}}{{{a_4}+{a_5}}}$=$\frac{{a}_{3}（1+q）}{{a}_{4}（1+q）}$=$\frac{1}{q}$，即可求得$\frac{{{a_3}+{a_4}}}{{{a_4}+{a_5}}}$．

解答 解：设正项等比数列{a_n}公比为q，a₁、$\frac{1}{2}$a₃、a₂成等差数列，
∴a₃=a₂+a₁，
∵a₁＞0，q＞0，
∴q²-q-1=0，
∴q=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（不合题意，舍去），或q=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴q=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
$\frac{{{a_3}+{a_4}}}{{{a_4}+{a_5}}}$=$\frac{{a}_{3}（1+q）}{{a}_{4}（1+q）}$=$\frac{1}{q}$=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．
∴$\frac{{{a_3}+{a_4}}}{{{a_4}+{a_5}}}$=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
故选B．

点评 本题考查等比数列的性质，考查等差数列等差中项的应用，考查计算能力，属于中档题．