Question

19．函数f（x）=ln（x²-x+1）-$\frac{2}{|2x-1|}$的所有零点的和为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由f（x）=ln[（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$]-$\frac{1}{{|x-\frac{1}{2}|}}$，它是由偶函数g（x）=ln（x²+$\frac{3}{4}$）-$\frac{1}{|x|}$的图象向右平移$\frac{1}{2}$个单位得到，故f（x）的图象关于x=$\frac{1}{2}$对称，根据偶函数的性质，函数f（x）的所有零点的和x₁+x₂=2×$\frac{1}{2}$=1．

解答 解：f（x）=ln[（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$]-$\frac{1}{{|x-\frac{1}{2}|}}$，
它是由偶函数g（x）=ln（x²+$\frac{3}{4}$）-$\frac{1}{|x|}$的图象向右平移$\frac{1}{2}$个单位得到，
故f（x）的图象关于x=$\frac{1}{2}$对称，
又g（x）在（0，+∞）上为增函数，
画图知g（x）有两个零点，如图示：

故f（x）有两个零点，
由g（x）有两个零点，两个零点关于y轴对称，则两个零点之和为0，
∴f（x）=ln（x²-x+1）-$\frac{2}{|2x-1|}$的所有零点的和x₁+x₂=2×$\frac{1}{2}$=1，
故选B．

点评 本题考查函数的图象变换，考查偶函数的性质，函数零点的应用，考查数形结合思想，属于中档题．