Question

14．已知函数f（x）=（x-k）e^x，
（1）求f（x）过点（1，0）的切线方程；    
（2）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求在x=1处的导数得到切线的斜率，然后求出切点坐标，根据点斜式方程可求出切线方程；
（2）求导，令f′（x）=0，得x=k-1，对k-1是否在区间[0，1]内进行讨论，从而求得f（x）在区间[0，1]上的最小值．

解答 解：（1）f（1）=（1-k）e=0，∴k=1，
∴∵f'（x）=xe^x，
∴f'（1）=e，而f（1）=0，
∴f（x）在x=1处的切线方程为：y-0=e（x-1）即y=ex-e；
（2）f′（x）=（x-k+1）e^x，
令f′（x）=0，得x=k-1，
当k-1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，
∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=-k；
当0＜k-1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k-1]上单调递减，f（x）在区间（k-1，1]上单调递增，
∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k-1）=-e^k-1；
当k-1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，
∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=（1-k）e；
综上所述f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-k，k≤1}\\{-{e}^{k-1}，1＜k＜2}\\{（1-k）e，k≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程f'（x）=0根是否在区间[0，1]内进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，增加了题目的难度．属于中档题．