Question

7．已知椭圆C的左，右焦点坐标分别为（-2，0），（2，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，若P为椭圆C上的一点，过点P垂直于y轴的直线交y轴于点Q，M为线段QP的中点．点（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆C上．
（1）求椭圆C短轴长；
（2）求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由椭圆的焦点坐标和离心率列出方程组，由此能求出椭圆的短轴长．
（2）由（1）可知：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，设P（x₀，y₀），M（x，y），由题意可知：x=$\frac{{x}_{0}}{2}$，y=y₀，利用代入法能求出点M的轨迹方程．

解答 解：（1）依题意可设椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由椭圆C的左，右焦点坐标分别为（-2，0），（2，0），
∴c=2，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：a=2$\sqrt{2}$，
于是b²=a²-c²=8-4=4，
∴椭圆C的短轴长为2b=4
（2）有（1）知椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，设P（x₀，y₀），M（x，y），
则$\frac{{x}_{0}^{2}}{8}+\frac{{y}_{0}^{2}}{4}=1$，x=$\frac{{x}_{0}}{2}$，y=y₀，
代入椭圆方程可知：$\frac{（2x）^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，即$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∴点M的轨迹方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$．

点评 本题考查椭圆的短轴长的求法，考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．属于中档题，