Question

5．数列$\left\{{a_n}\right\}满足{a_1}=1，{a_2}=2，{a_{n+2}}=（1+{cos^2}\frac{nπ}{2}）{a_n}+{sin^2}\frac{nπ}{2}$，n=1，2，3，…．
（1）求a₃，a₄并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n试比较|T_n-2|与$\frac{8}{（n+1）^{2}}$的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过将a₁=1、a₂=2代入关系式即得a₃、a₄的值；分n=2k-1、n=2k两种情况代入关系式即得该数列中的奇数项构成以首项、公差均为1的等差数列、偶数项构成以首项、公比均为2的等比数列，进而可得结论；
（2）通过a_2n-1=n、a_2n=2ⁿ可得b_n=$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用错位相减法即得T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，通过记A_n=|T_n-2|=$\frac{n+2}{{2}^{n}}$＞0，B_n=$\frac{8}{（n+1）^{2}}$＞0，令C_n=$\frac{{A}_{n}}{{B}_{n}}$=$\frac{（n+1）^{2}（n+2）}{{2}^{n+3}}$，则问题转化为比较C_n与1的大小，通过作商法可知：当n≥3时，数列{C_n}单调递减，进而计算即得结论．

解答 解：（1）∵a₁=1，a₂=2，
∴a₃=（1+cos²$\frac{π}{2}$）a₁+sin²$\frac{π}{2}$=a₁+1=2，
a₄=（1+cos²$\frac{2π}{2}$）a₂+sin²$\frac{2π}{2}$=2a₂=4，
当n=2k-1时，a_2k+1=[（1+cos²$\frac{（2k-1）π}{2}$）a_2k-1+sin²$\frac{（2k-1）π}{2}$=a_2k-1+1，
即数列{a_2k-1}是以首项、公差均为1的等差数列，
∴a_2k-1=k；
当n=2k时，a_2k+2=[（1+cos²$\frac{2kπ}{2}$）a_2k+sin²$\frac{2kπ}{2}$=2a_2k，
即数列{a_2k}是以首项、公比均为2的等比数列，
∴a_2k=2^k；
综上：数列{a_n}的通项a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n+1}{2}，}&{n=k-1{（k∈N}^{*}）}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，}&{n=2k（k∈{N}^{*}）}\end{array}\right.$；
（2）由（1）知：a_2n-1=n，a_2n=2ⁿ，
∴b_n=$\frac{{a}_{2n-1}}{{a}_{2n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∵T_n=b₁+b₂+…+b_n，
∴T_n=$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{{2}^{2}}$+3×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n×$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+2×$\frac{1}{{2}^{3}}$+3×$\frac{1}{{2}^{4}}$…+n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
记A_n=|T_n-2|=$\frac{n+2}{{2}^{n}}$＞0，B_n=$\frac{8}{（n+1）^{2}}$＞0，
令C_n=$\frac{{A}_{n}}{{B}_{n}}$=$\frac{（n+1）^{2}（n+2）}{{2}^{n+3}}$，
则要“比较|T_n-2|与$\frac{8}{（n+1）^{2}}$的大小”，
只需比较：“C_n与1的大小”即可．
∵C_n=$\frac{（n+1）^{2}（n+2）}{{2}^{n+3}}$，
∴C_n+1=$\frac{（n+2）^{2}（n+3）}{{2}^{n+4}}$，
∴$\frac{{C}_{n+1}}{{C}_{n}}$=$\frac{（n+2）（n+3）}{2（n+1）^{2}}$，
令$\frac{{C}_{n+1}}{{C}_{n}}$＜1，即n²-n-4＞0，
解得：n≥3，
∴当n≥3时，数列{C_n}单调递减．
当n=1时，C₁=$\frac{{2}^{2}•3}{{2}^{4}}$=$\frac{3}{4}$＜1，此时A₁＜B₁，
当n=2时，C₂=$\frac{{3}^{2}•4}{{2}^{5}}$=$\frac{8}{9}$＞1，此时A₂＞B₂，
当n=3时，C₃=$\frac{{4}^{2}•5}{{2}^{6}}$=$\frac{5}{4}$＞1，此时A₃＞B₃，
当n=4时，C₄=$\frac{{5}^{2}•6}{{2}^{7}}$=$\frac{75}{64}$＞1，此时A₄＞B₄，
当n=5时，C₅=$\frac{{6}^{2}•7}{{2}^{8}}$=$\frac{63}{64}$＜1，此时A₅＜B₅，
∵当n≥3时，数列{C_n}单调递减，
∴当n≥5时，C_n≤C₅＜1，即A_n＜B_n，
综上所述：当n=2、3、4时，|T_n-2|＞$\frac{8}{（n+1）^{2}}$，
当n=1或n≥5时，|T_n-2|＜$\frac{8}{（n+1）^{2}}$．

点评 本题是一道数列与不等式的综合题，考查求数列的通项、比较大小关系、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于难题．