Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则角B的范围是（　　）

• A、0＜B≤

  π

  4

• B、0＜B≤

  π

  3

• C、

  π

  3

  ≤B≤

  π

  2

• D、

  π

  2

  ＜B＜π

Answer 1

分析：由a，b，c成等差数列，根据等差数列的性质得到2b=a+c，解出b，然后利用余弦定理表示出cosB，把b的式子代入后，合并化简，利用基本不等式即可求出cosB的最小值，根据B的范围以及余弦函数的单调性，再利用特殊角三角函数值即可求出B的取值范围．

解答：解：由a，b，c成等差数列，得到2b=a+c，即b=

a+c

2

，
则cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3(a2+c2)-2ac

8ac

≥

6ac-2ac

8ac

=

1

2

，
因为B∈（0，π），且余弦在（0，π）上为减函数，
所以角B的范围是：0＜B≤

π

3

．
故选B

点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理化简求值，会利用基本不等式求函数的最值，是一道综合题．