Question

如图菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H、G分别是线段EF、BC的中点．
（1）求证：平面AHC⊥平面BCE；
（2）点M在直线EF上，且MG∥平面AFD，求平面ACH与平面ACM所成锐角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出AH⊥AB，AH⊥BC，AC⊥BC，从而得到BC⊥面AHC，由此能证明面AHC⊥面BCE．
（2）分别以AD、AB、AH所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACH与平面ACM所成锐角的余弦值．

解答： （1）证明：在菱形ABEF中，
∵∠ABE=60°，∴△AEF是等边三角形，
又∵H是线段EF的中点，∴AH⊥EF，AH⊥AB，
∵面ABEF⊥面ABCD，且面ABEF∩面ABCD=AB，
∴AH⊥面ABCD，∴AH⊥BC，
在直角梯形中，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=∠CDA=90°，
∴AC=BC=2

2

，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又∵AH∩AC=A，∴BC⊥面AHC，又BC?面BCE，
∴平面AHC⊥平面BCE．…．（6分）
（2）解：分别以AD、AB、AH所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则有A（0，0，0），B（0，4，0），C（2，2，0），D（2，0，0），E（0，2，2

3

），
F（0，-2，2

3

），H（0，0，2

3

），G（1，3，0），M（0，m，2

3

），
设点M（0，m，2

3

），则存在实数λ，μ，使得

GM

=λ

AD

+μ

AF

，
代入解得M（0，1，2

3

），
由（1）知平面AHC的法向量是

BC

=（2，-2，0），
设平面ACM的法向量是

n

=（x，y，z），
∵

AC

=(2，2，0)，

AM

=(0，1，2

3

)，
∴

2x+2y=0 y+2 3 z=0

，取z=

3

，得

n

=（6，-6，

3

），
∴cos＜

BC

，

n

＞=

24

2 2 •5 3

=

2 6

5

，
即平面ACH与平面ACM所成锐角的余弦值为

2 6

5

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．