Question

函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2-x），且（x-1）f′（x）＜0若a=f(0)，b=f(

1

2

)，c=f(3)，则a，b，c的大小关系是

 

．

Answer 1

考点：不等式比较大小,抽象函数及其应用,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：由（x-1）f′（x）＜0，可得当x＞1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当x＜1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．又f（x）=f（2-x），可得f（3）=f[2-（-1）]=f（-1）．利用单调性即可得出．

解答： 解：∵（x-1）f′（x）＜0，
∴当x＞1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；
当x＜1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
又f（x）=f（2-x），
∴f（3）=f[2-（-1）]=f（-1）．
∵-1＜0＜

1

2

，
∴f(-1)＜f(0)＜f(

1

2

)．
又a=f(0)，b=f(

1

2

)，c=f(3)，
∴c＜a＜b．
故答案为：c＜a＜b．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性．