Question

设函数f(x)=ax+bx+1（a,b为实数）,F(x)=

（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)成立，求F(x)表达式。

（2）在（1）的条件下,当x时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。

（3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。

Answer 1

（1）F(x)=（2）k-2或k6（3）见解析

解析:

（1）f(-1)=0 ∴由f(x)0恒成立 知△=b-4a=(a+1)-4a=(a-1)0

∴a=1从而f(x)=x+2x+1  ∴F(x)= ，

（2）由（1）可知f(x)=x+2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x+(2-k)x+1，由于g(x)在上是单调函数,知-或-，得k-2或k6 ，

（3）f(x)是偶函数，∴f(x)=f(x)，而a>0∴在上为增函数

对于F(x)，当x>0时-x<0，F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)，当x<0时-x>0，F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，

∴F(x)是奇函数且F(x)在上为增函数，

m>0,n<0，由m>-n>0知F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n)

∴F(m)+F(n)>0 。