Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）求PB和平面PAD所成角的大小；
（2）求证：CD⊥AE；
（3）证明：AE⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）求PB和平面PAD所成的角的大小，说明∠APB就是要求的角即可求解．
（2）通过证明CD⊥面PAC，即可证明AE⊥CD．
（3）要证明AE⊥平面PCD，只要证明AE⊥PC，结合AE⊥CD，即可证明结论．

解答 解：（1）解：在四棱锥P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，故PA⊥AB．
又AB⊥AD，PA∩AD=A，从而AB⊥平面PAD．故PB在平面PAD内的射影为PA，
从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB=PA，故∠APB=45°．
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．
（2）证明：在四棱锥P-ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故CD⊥PA．
由条件CD⊥PA，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC．
又AE?面PAC，∴AE⊥CD．
（3）由（2）可知AE⊥CD，
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，∴PC∩CD=C．综上得AE⊥平面PCD．

点评 本题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角．考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．