Question

2．已知M是△ABC内的一点（不含边界），且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°若△MBC、△MAB、△MAC的面积分别是x，y，z，则$\frac{1}{x+y}+\frac{4}{z}$的最小值为9．

Answer 1

分析 由向量和三角形的知识可得正数x，y，z满足x+y+z=1，整体代入可得$\frac{1}{x+y}+\frac{4}{z}$=（$\frac{1}{x+y}+\frac{4}{z}$）（x+y+z）=5+$\frac{z}{x+y}$+$\frac{4（x+y）}{z}$，由基本不等式可得．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=bccos30°=2$\sqrt{3}$，
解得bc=4，故△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsin30°=1，
∴正数x，y，z满足x+y+z=1，
∴$\frac{1}{x+y}+\frac{4}{z}$=（$\frac{1}{x+y}+\frac{4}{z}$）（x+y+z）
=5+$\frac{z}{x+y}$+$\frac{4（x+y）}{z}$≥5+2$\sqrt{\frac{z}{x+y}•\frac{4（x+y）}{z}}$=9
当且仅当$\frac{z}{x+y}$=$\frac{4（x+y）}{z}$即z=2（x+y）时取等号，
结合x+y+z=1可得x+y=$\frac{1}{3}$且z=$\frac{2}{3}$．
故选答案为：9．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及三角形和向量的知识，属中档题．