Question

13．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+2y-3≥0}\\{2x+y-3≤0}\end{array}\right.$，$\overrightarrow{a}$=（y，m+x），$\overrightarrow{b}$=（1，2），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则m的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，利用向量共线得到目标函数m=-x+2y，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+2y-3≥0}\\{2x+y-3≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-3=0}\\{x+2y-3=0}\end{array}\right.$，解得A（1，1）．
由$\overrightarrow{a}$=（y，m+x），$\overrightarrow{b}$=（1，2），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，得
m=-x+2y，化为$y=\frac{x}{2}+\frac{m}{2}$，
由图可知，当直线$y=\frac{x}{2}+\frac{m}{2}$过A时，直线在y轴上的截距最小，m有最小值为-1+2×1=1．
故选：A．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．