Question

4．数列{x_n}满足x₁=0，x_n+1=-x_n²+x_n+c（n∈N^*）
（1）证明：{x_n}是递减数列的充分必要条件是c＜0；
（2）若数列{x_n}是递增数列，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）充分性：若c＜0，由于x_n+1=-x_n²+x_n+c≤x_n+c＜x_n，即可证明；必要性：若{x_n}是递减数列，则由x₂＜x₁，可得c＜0．
（2）由于数列{x_n}是递增数列，可得x₁＜x₂＜x₃，解得0＜c＜1．由x_n＜x_n+1=-x_n²+x_n+c，可得：${x}_{n}＜\sqrt{c}$，又$\sqrt{c}$-x_n+1=x_n²-x_n-c+$\sqrt{c}$=$（1-\sqrt{c}-{x}_{n}）$$（\sqrt{c}-{x}_{n}）$，可得：x_n＜$1-\sqrt{c}$，还可得：$\sqrt{c}$-x_n+1≤$（1-\sqrt{c}）$$（\sqrt{c}-{x}_{n}）$，反复运用可得：$\sqrt{c}-{x}_{n}$＜$（1-\sqrt{c}）^{n-1}$，可得x_n＜1-$\sqrt{c}$，和 $\sqrt{c}-{x}_{n}$＜$（1-\sqrt{c}）^{n-1}$，根据指数函数y=$（1-\sqrt{c}）^{n}$的性质即可得出．

解答 （1）证明：充分性：若c＜0，由于x_n+1=-x_n²+x_n+c≤x_n+c＜x_n，
∴{x_n}是递减数列．
必要性：若{x_n}是递减数列，则由x₂＜x₁，可得$-{x}_{1}^{2}+{x}_{1}$+c＜x₁，可得c＜0．
（2）解：∵x_n+1=-x_n²+x_n+c，
x₁=0，可得x₂=c，x₃=-c²+2c，
∵数列{x_n}是递增数列，
∴x₁＜x₂＜x₃，可得：0＜c＜-c²+2c，解得0＜c＜1，
由x_n＜x_n+1=-x_n²+x_n+c，可得：${x}_{n}＜\sqrt{c}$，①
又$\sqrt{c}$-x_n+1=x_n²-x_n-c+$\sqrt{c}$=$（1-\sqrt{c}-{x}_{n}）$$（\sqrt{c}-{x}_{n}）$，②
由①②可得：x_n＜$1-\sqrt{c}$，
由②和x_n≥0还可得：$\sqrt{c}$-x_n+1≤$（1-\sqrt{c}）$$（\sqrt{c}-{x}_{n}）$，③
反复运用③可得：$\sqrt{c}-{x}_{n}$≤$（1-\sqrt{c}）^{n-1}（\sqrt{c}-{x}_{1}）$＜$（1-\sqrt{c}）^{n-1}$，
∴x_n＜1-$\sqrt{c}$，和 $\sqrt{c}-{x}_{n}$＜$（1-\sqrt{c}）^{n-1}$，
∴2$\sqrt{c}$-1＜$（1-\sqrt{c}）^{n-1}$，对于n≥1成立．
根据指数函数y=$（1-\sqrt{c}）^{n}$的性质可得：$2\sqrt{c}$-1≤0，解得$0＜c≤\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了数列的单调性、递推关系的应用、不等式的性质、“迭乘法”、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于难题．