Question

19．已知函数f（x）=x²+|x-a|．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）试讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）将f（x）化简成分段函数，讨论f（x）的单调性，求出最小值；
（2）将f（x）化简成分段函数，对a进行讨论，得出结论．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-1，x≥1}\\{{x}^{2}-x+1，x＜1}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）上是减函数，在[$\frac{1}{2}$，1）上是增函数，在[1，+∞）上是增函数．
∴f_min（x）=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$．
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-a，x≥a}\\{{x}^{2}-x+a，x＜a}\end{array}\right.$，
①若a＞0，当x≥a时，-x≤-a＜0，
f（x）=x²+x-a，f（-x）=x²+x+a，∴f（-x）≠±f（x）．
∴f（x）为非奇非偶函数．
②若a＜0，当x＜a时，-x＞-a＞0，
f（x）=x²-x+a，f（-x）=x²-x-a，∴f（-x）≠±f（x）．
∴f（x）为非奇非偶函数．
③若a=0，当x≥0时，f（x）=x²+x，f（-x）=x²+x，∴f（x）=f（-x），
当x＜0时，f（x）=x²-x，f（-x）=x²-x，∴f（x）=f（-x）．
∴f（x）是偶函数．
综上，当a=0时，f（x）是偶函数，
当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．

点评 本题考查了分段函数的单调性，函数奇偶性的判断，将f（x）化简成分段函数是关键．