Question

9．已知函数f（x）=x³+x-6，若不等式f（x）≤m²-2m+3对于所有x∈[-2，2]恒成立，则实数m的取值范围是m$≤1-\sqrt{2}$或m$≥1+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 要使原式恒成立，只需m²-2m+3大于等于f（x）在[-2，2]上的最大值，然后再利用导数求函数f（x）在[-2，2]上的最大值，最后求解不等式得答案．

解答 解：f（x）=x³+x-6，x∈[-2，2]，
f′（x）=3x²+1＞0，
∴函数f（x）在闭区间[-2，2]上为增函数，
而f（2）=2³+2-6=4，
∴函数f（x）在[-2，2]上的最大值为4，
由f（x）≤m²-2m+3对于所有x∈[-2，2]恒成立，
得4≤m²-2m+3，即m²-2m-1≥0，
解得：m$≤1-\sqrt{2}$或m$≥1+\sqrt{2}$．
∴实数m的取值范围是m$≤1-\sqrt{2}$或m$≥1+\sqrt{2}$．
故答案为：m$≤1-\sqrt{2}$或m$≥1+\sqrt{2}$．

点评 本题考查了不等式恒成立问题，一般是转化为函数的最值问题来解决，解答本题的关键是利用导数求函数在闭区间上的最值，属中档题．