Question

4．给出下列四个命题：
①函数y=-$\frac{1}{x}$在R上单调递增；
②函数y=$\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{{|{x+2}|-2}}$为奇函数；
③若函数f（2x）的定义域为[1，2]，则函数f（2^x）的定义域为[1，2]；
④若函数y=x²+2（a-1）x+2在（-∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（-∞，-3）．
其中正确的序号是②③．

Answer 1

分析 分析函数的单调性，可判断①；分析函数的奇偶性，可判断②；分析函数的定义域，可判断③；结合二次函数的图象和性质，求出实数a的取值范围，可判断④．

解答 解：①函数y=-$\frac{1}{x}$在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增，但在R上不具有单调性，故错误；
②函数y=$\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{{|{x+2}|-2}}$的定义域为[-1，0）∪（0，1]关于原点对称函数y=f（x）=$\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{{|{x+2}|-2}}$=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$，则f（-x）=-f（x）在定义域内恒成立，即函数为奇函数，故正确；
③若函数f（2x）的定义域为[1，2]，则2x∈[2，4]，由2^x∈[2，4]得：x∈[1，2]，故函数f（2^x）的定义域为[1，2]，故正确；
④若函数y=x²+2（a-1）x+2的图象是开口朝上，且以直线x=1-a为对称轴的抛物线，若函数在（-∞，4）上是减函数，则4≤1-a，则实数a的取值范围是（-∞，-3]，故错误．
故答案为：②③．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，奇偶性，定义域等知识点，难度中档．