Question

16．某研究性学习小组对某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究．他们分别记录了3月1日至3月5日的昼夜温差及每天30颗种子的发芽数，并得到如下资料：

日期	3月1日	3月2日	3月3日	3月4日	3月5日
温差x （度）	10	11	13	12	9
发芽数y（颗）	15	16	17	14	13

参考数据$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}=832$，${\sum_{i=1}^{5}x}_{i}^{2}=615$，其中b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}-b\overline{x}$
（1）请根据3月1日至3月5日的数据，求出y关于x的线性回归方程．据气象预报3月6日的昼夜温差为11℃，请预测3月6日浸泡的30颗种子的发芽数．（结果保留整数）
（2）从3月1日至3月5日中任选两天，
①求种子发芽数恰有1天超过15颗的概率．
②若已知有一天种子发芽数是15颗，求另一天超过15颗的概率．

Answer 1

分析 （1）先利用表中数据计算$\overline{x}，\overline{y}$，由公式求出$\widehat{b}$，$\widehat{a}$，从而求出回归直线方程，当x=11时，代入回归直线方程中算出预测种子发芽数位15颗．
（2）①利用等可能事件概率计算公式能求出种子发芽数恰有1天超过15颗的概率．
②利用列举法能求出有一天种子发芽数是15颗，另一天超过15颗的概率．

解答 解：（1）∵$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}=832$，${\sum_{i=1}^{5}x}_{i}^{2}=615$，
$\overline{x}$=$\frac{1}{5}（10+11+13+12+9）$=11，$\overline{y}=\frac{1}{5}（15+16+17+14+13）$=15，
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{832-5×11×15}{615-5×1{1}^{2}}$=0.7，
$\widehat{a}$=$\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}$=15-0.7×11=7.3，
∴所求的线性回归方程为：$\widehat{y}$=0.7$\widehat{x}$+7.3．
当x=11时，y=15，即3月6日浸泡的30颗种子的发芽数约为15颗．
（2）①令“种子发芽数恰有1天超过15颗”为事件A，则P（A）=$\frac{3}{5}$．
②有一天发芽数是15颗，包含的总基本事件数是（15，13）、（15，14）、（15，16）、（15，17）．
其中令一天超过15颗的基本事件是（15，16）、（15，17）．
故所求的概率P=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查线性回归方程和概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式和列举法的合理运用．