Question

6．若x²+2（m-1）x+2m+6＞0在m∈[0，2]上总成立，求实数x的范围．

Answer 1

分析 方法一：分离出m，构造关于m的函数，f（m）=x²+2（m-1）x+2m+6=2m（x+1）+x²-2x+6，分类讨论即可实数x的取值范围．
方法二，分离出m，构造关于m的函数，得到$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：方法一∵x²+2（m-1）x+2m+6＞0在m∈[0，2]上总成立，
设f（m）=x²+2（m-1）x+2m+6=2m（x+1）+x²-2x+6，
当x+1＞0时，f（m）为增函数，
∴x²-2x+6＞0，
△=4-4×6＜0，
∴x＞-1，
当x+1=0时，即x²-2x+6=1+2+6=9＞0，
当x+1＜0时，f（m）为减函数，
∴4（x+1）+x²-2x+6＞0，
即x²+2x+10＞0，
△=4-4×10＜0，
∴x＜-1，
综上所述x的范围为R．
方法二：x²+2（m-1）x+2m+6＞0在m∈[0，2]上总成立，
设f（m）=x²+2（m-1）x+2m+6=2m（x+1）+x²-2x+6，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+6＞0}\\{{x}^{2}+2x+10＞0}\end{array}\right.$，解得x∈R，

点评 本题考查函数的恒成立问题的应用，二次函数的单调性，基本不等式的应用，考查计算能力以及转化思想．