Question

14．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1），x≥0}\\{lo{g}_{2}（-x），x＜0}\\{\;}\end{array}\right.$，若f（a）＞f（-a），则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）∪（0，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）
• B． （$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，0）∪（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，+∞）
• C． （-∞，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）∪（0，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）
• D． （$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，0）∪（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由已知中f（x）=$\left\{\begin{array}{l}lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1），x≥0\\ lo{g}_{2}（-x），x＜0\end{array}\right.$，分a＞0和a＜0两种情况，分别求解f（a）＞f（-a），综合讨论结果可得实数a的取值范围．

解答 解：若a＞0，则-a＜0，则不等式f（a）＞f（-a）可化为：$lo{g}_{\frac{1}{2}}（a+1）＞lo{g}_{2}a$，即$a+1＜\frac{1}{a}$，解得：$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
故此时a∈（0，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$）；
若a＜0，则-a＞0，则不等式f（a）＞f（-a）可化为：$lo{g}_{2}（-a）＞lo{g}_{\frac{1}{2}}（-a+1）$，即$-a+1＞\frac{1}{-a}$，解得：a＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，或a＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故此时a∈（-∞，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）；
综上所述，a∈（-∞，$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）∪（0，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$），
故选：A．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，难度中档．