Question

15．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱BC的中点．
（1）求证：BD₁∥平面C₁DE；
（2）在边AD上能否确定一点，使得平面BD₁G⊥平面C₁DE？

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BD₁∥平面C₁DE．
（2）设AD上存在点G（t，0，0），0≤t≤2，使得平面BD₁G⊥平面C₁DE，求出平面BD₁G的法向量和平面C₁DE的法向量，由向量法推导出故在边AD上不能确定一点G，使得平面BD₁G⊥平面C₁DE．

解答 证明：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
则B（2，2，0），D₁（0，0，2），C₁（0，2，2），D（0，0，0），E（1，2，0），
$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-2，-2，2），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，2），$\overrightarrow{DE}$=（1，2，0），
设平面C₁DE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=2y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=x+2y=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
$\overrightarrow{B{D}_{1}}$•$\overrightarrow{n}$=-4+2+2=0，
∵BD₁?平面C₁DE，∴BD₁∥平面C₁DE．
解：（2）设AD上存在点G（t，0，0），0≤t≤2，使得平面BD₁G⊥平面C₁DE，
$\overrightarrow{BG}$=（t-2，-2，0），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-2，-2，2），
设平面BD₁G的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BG}=（t-2）a-2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{D}_{1}}=-2a-2b+2c=0}\end{array}\right.$取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\frac{t-2}{2}$，$\frac{t}{2}$），
∵平面BD₁G⊥平面C₁DE，平面C₁DE的法向量$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=2-$\frac{t-2}{2}$+$\frac{t}{2}$=0，整理得3=0，不成立，
故在边AD上不能确定一点G，使得平面BD₁G⊥平面C₁DE．

点评 本题考查线面平行的证明，考查满足面面垂直的点的确定与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．