Question

20．已知数列{a_n}各项均为正，若a₁=1，且lga_n+1+lga_n=lg（a_n-a_n+1）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}的前n项和S_n，求S_n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由对数运算法则得到a_n+1a_n=a_n-a_n+1，从而$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，$\frac{1}{{a}_{1}}=1$，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用裂项求和法求出数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}的前n项和，由此能求出S_n的取值范围．

解答 解：（1）∵数列{a_n}各项均为正，a₁=1，且lga_n+1+lga_n=lg（a_n-a_n+1）（n∈N^*），
∴a_n+1a_n=a_n-a_n+1，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=1，$\frac{1}{{a}_{1}}=1$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，公差为1的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）•1=n，
∴数列{a_n}的通项公式${a}_{n}=\frac{1}{n}$．
（2）∵$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}的前n项和：
S_n=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．
n=1时，（S_n）_min=1-$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，S_n=1-$\frac{1}{n+1}$＜1，
∴S_n的取值范围是[$\frac{1}{2}，1$）．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、对数运算法则、裂项求和法的合理运用．