Question

5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y²=2px（p＞0）．设点D（n，0），E（m，0）．M为抛物线C上的动点（异于顶点），连接ME并延长交抛物线C于点N，连接MD、ND并延长交抛物线C于点P、Q，连接PQ．设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k₁，k₂．
（1）若k₁=1，m=2，|MN|=4$\sqrt{6}$，求p；
（2）是否存在与p关的常数λ，使得k₂=λk₁恒成立．若存在请用m，n表示出来；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直线MN的方程为y=x-2，代入y²=2px，利用弦长公式，即可求p；
（2）先求出P，Q的坐标，再利用M，E，N共线，得出y₁y₂=-2mp，即可得出结论．

解答 解：（1）直线MN的方程为y=x-2，代入y²=2px，整理可得x²-（4+2p）x+4=0，
∵|MN|=4$\sqrt{6}$，
∴$\sqrt{2}$•$\sqrt{（4+2p）^{2}-16}$═4$\sqrt{6}$，
∵p＞0，∴p=2；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），则直线MD的方程为x=$\frac{{x}_{1}-n}{{y}_{1}}$y+n
代入抛物线方程整理得y²-$\frac{2p（{x}_{1}-n）}{{y}_{1}}$y-2pn=0，
∴y₁y₃=-2pm，∴y₃=-$\frac{2pn}{{y}_{1}}$，
∴x₃=$\frac{2p{n}^{2}}{{{y}_{1}}^{2}}$，∴P（$\frac{2p{n}^{2}}{{{y}_{1}}^{2}}$，-$\frac{2pn}{{y}_{1}}$），
同理Q（$\frac{2p{n}^{2}}{{{y}_{2}}^{2}}$，-$\frac{2pn}{{y}_{2}}$）
∵M，E，N共线，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}$，
∴$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}{y}_{1}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$y₂=m（y₁-y₂），
∴y₁y₂=-2mp，
∴k₂=$\frac{{y}_{4}-{y}_{3}}{{x}_{4}-{x}_{3}}$=$\frac{m（{y}_{2}-{y}_{1}）}{n（{x}_{2}-{x}_{1}）}$=$\frac{m}{n}$k₁，
∴λ=$\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}$=$\frac{m}{n}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查弦长公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．