Question

5．平面内给定三个向量$\overrightarrow{a}$=（3，2），$\overrightarrow{b}$=（-1，2），$\overrightarrow{c}$=（4，1）
（1）求满足$\overrightarrow{a}$=m$\overrightarrow{b}$+n$\overrightarrow{c}$的实数m，n；
（2）（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）∥（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），求实数k；
（3）设$\overrightarrow{d}$=（x，y）满足（$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$）∥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），且|$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，求向量$\overrightarrow{d}$的坐标．

Answer 1

分析 （1）由已知得（3，2）=m（-1，2）+n（4，1）=（-m+4n，2m+n），由此能求出m，n．
（2）由已知得2×（3+4k）-（-5）×（2+k）=0，由此能求出k．
（3）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{4（x-4）-2（y-1）=0}\\{（x-4）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，由此能求出$\overrightarrow{d}$．

解答 解：（1）∵平面内给定三个向量$\overrightarrow{a}$=（3，2），$\overrightarrow{b}$=（-1，2），$\overrightarrow{c}$=（4，1）
$\overrightarrow{a}$=m$\overrightarrow{b}$+n$\overrightarrow{c}$，∴（3，2）=m（-1，2）+n（4，1）=（-m+4n，2m+n）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m+4n=3}\\{2m+n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{5}{9}}\\{n=\frac{8}{9}}\end{array}\right.$．
（3）∵（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）∥（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），
又$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$=（3+4k，2+k），
2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$=（-5，2），
∴2×（3+4k）-（-5）×（2+k）=0．
∴k=-$\frac{16}{13}$．
（4）∵$\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}$=（x-4，y-1），$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（2，4），
又（$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$）∥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），且|$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4（x-4）-2（y-1）=0}\\{（x-4）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
解得x=$\frac{9}{2}$，y=2，或x=$\frac{7}{2}$，y=0．
∴$\overrightarrow{d}$=（$\frac{9}{2}，2$）或$\overrightarrow{d}$=（$\frac{7}{2}$，0）．

点评 本题考查平面向量的运算法则的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行和向量相等的性质的合理运用．