Question

20．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x₁）-g（x₂）|=2的x₁、x₂有|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{3}$，则φ=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 利用三角函数的最值，求出自变量x₁，x₂的值，然后判断选项即可．

解答 解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位后得到函数g（x）的图象．
若对满足|f（x₁）-g（x₂）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{3}$，
不妨x₁=$\frac{π}{4}$，x₂=$\frac{7π}{12}$，即g（x）在x₂=$\frac{7π}{12}$，取得最小值，sin（2×$\frac{7π}{12}$-2φ）=-1，此时φ=-$\frac{π}{6}$，不合题意，
x₁=$\frac{3π}{4}$，x₂=$\frac{5π}{12}$，即g（x）在x₂=$\frac{5π}{12}$，取得最大值，sin（2×$\frac{5π}{12}$-2φ）=1，此时φ=$\frac{π}{6}$，满足题意．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．