Question

12．计算下列各式的值
（1）log₃$\sqrt{27}$+lg25+lg4$+{（{0.125}）^{\frac{1}{3}}}$
（2）已知a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，求值：$\frac{{a+{a^{-1}}}}{{{a^2}+{a^{-2}}}}$．

Answer 1

分析 （1）利用对数、分数指数幂性质、运算法则求解．
（2）利用分指数幂性质、运算法则和完全平方式求解．

解答 解：（1）log₃$\sqrt{27}$+lg25+lg4$+{（{0.125}）^{\frac{1}{3}}}$
=$\frac{3}{2}+2+\frac{1}{2}=4$．（5分）
（2）∵a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，
∴${（{a^{\frac{1}{2}}}+{a^{-\frac{1}{2}}}）^2}=a+{a^{-1}}+2=9$，
∴a+a^-1=7，（7分）
∴（a+a^-1）=a²+a^-2+2=49，
∴a²+a^-2=47，（9分）
∴$\frac{{a+{a^{-1}}}}{{{a^2}+{a^{-2}}}}=\frac{7}{47}$．（10分）

点评 本题考查指数式、对数式化简求值，考查代数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、分数指数幂性质、运算法则和完全平方式的合理运用．