Question

2．求下列各式的值：
（1）若$\frac{π}{2}$＜α＜π，且sinα=$\frac{4}{5}$，求$\frac{sin（2π-α）tan（π+α）cos（-π+α）}{sin（\frac{π}{2}-α）cos（\frac{π}{2}+α）}$的值，
（2）lg200+$\frac{1}{2}$lg25+5（lg2+lg5）³-（$\frac{1}{27}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$．

Answer 1

分析 （1）由同角三角函数关系式先求出cosα，再求出tanα，然后利用诱导公式能求出$\frac{sin（2π-α）tan（π+α）cos（-π+α）}{sin（\frac{π}{2}-α）cos（\frac{π}{2}+α）}$的值．
（2）由lg200=2+lg2，$\frac{1}{2}lg25=lg5$，5（lg2+lg5）³=5，${（\frac{1}{27}）^{-\frac{1}{3}}}={（27）^{\frac{1}{3}}}=3$，能求出lg200+$\frac{1}{2}$lg25+5（lg2+lg5）³-（$\frac{1}{27}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$的值．

解答 解：（1）∵$\frac{π}{2}＜α＜π$，sinα=$\frac{4}{5}$，
∴cosα=-$\sqrt{1-（\frac{4}{5}）^{2}}$=$-\frac{3}{5}$，
∴$tanα=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}$=-$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{sin（2π-α）tan（π+α）cos（-π+α）}{sin（\frac{π}{2}-α）cos（\frac{π}{2}+α）}$
=$\frac{-sinαtanα（-cosα）}{cosα（-sinα）}$=$-tanα=\frac{4}{3}$．
（2）∵lg200=2+lg2，$\frac{1}{2}lg25=lg5$，5（lg2+lg5）³=5，${（\frac{1}{27}）^{-\frac{1}{3}}}={（27）^{\frac{1}{3}}}=3$
∴lg200+$\frac{1}{2}$lg25+5（lg2+lg5）³-（$\frac{1}{27}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$
=2+lg2+lg5+5-3=5．

点评 本题考查三角函数化简求值，考查对数式、指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式、诱导公式、对数及指数运算法则的合理运用．