Question

14．给定平面上四点O，A，B，C满足OA=4，OB=2，OC=2，$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=2，则△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}+4$．

Answer 1

分析 先利用向量的数量积公式，求出∠BOC=60°，利用余弦定理求出BC，由等面积可得O到BC的距离，即可求出△ABC面积的最大值．

解答 解：：∵OB=2，OC=2，$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=2，
∴cos∠BOC=$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}|}=\frac{2}{2×2}=\frac{1}{2}$，则∠BOC=60°，
∴BC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}-2×2×2×\frac{1}{2}}=2$，
设O到BC的距离为h，则由等面积可得$\frac{1}{2}$×2h=$\frac{1}{2}×2×2sin60°$，
∴h=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴△ABC面积的最大值为$\frac{1}{2}$×2×（$\sqrt{3}+4$）=$\sqrt{3}+4$．
故答案为：$\sqrt{3}+4$．

点评 本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出BC，O到BC的距离是关键，是中档题．