Question

19．已知函数y=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）．
（1）求函数取得最小值时自变量x的值；
（2）当-$\frac{5}{6}$π≤x≤$\frac{5}{6}$π时．求函数的值域；
（3）求函数的单调递增区间；
（4）用“五点法”作出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；
（5）请逐一写出由函数y=sinx的图象得到y=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）的图象的变换过程．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数取得最小值时自变量x的值．
（2）由-$\frac{5}{6}$π≤x≤$\frac{5}{6}$π．可求$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，利用正弦函数的图象和性质即可求函数的值域；
（3）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数的单调递增区间．
（4）列表，描点，连线，用五点法即可作函数f（x）在一个周期上的简图．
（5）把y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，再把各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再把各点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变），即得函数y=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）的图象．

解答 解：（1）由$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得：x∈{x|x=4kπ-$\frac{3π}{2}$，k∈Z}时，函数取得最小值为-2．
（2）∵-$\frac{5}{6}$π≤x≤$\frac{5}{6}$π．
∴$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]．可得：y=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）函数的值域为：[-1，2]．
（3）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数的单调递增区间为：[4kπ-$\frac{3π}{2}$，4kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z．
（4）列表：

$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{2}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$
y	0	2	0	-2	0

作图：

（5）把y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，再把各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
再把各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），即得函数y=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）的图象．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，属于基本知识的考查．