Question

13．若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x₀不存在，则称函数f（x）不具有性质M
（Ⅰ）证明：函数f（x）=2^x具有性质M，并求出对应的x₀的值；
（Ⅱ） 试探究函数y=a^x（a＞0且a≠1）是否具有性质M？并加以证明．

Answer 1

分析 （1）直接根据f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）求得x₀的值，即可证明该命题；
（2）问题转为方程a^x=$\frac{a}{a-1}$是否有解的讨论，当a＞1方程有解，当0＜a＜1方程无解．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2^x，
∴f（x₀+1）=${2}^{{x}_{0}+1}$，f（x₀）+f（1）=${2}^{{x}_{0}}$+2¹，
所以，${2}^{{x}_{0}+1}$=${2}^{{x}_{0}}$+2¹，
即${2}^{{x}_{0}}$=2，解得x₀=1，
∴函数f（x）=2^x，具有性质M；
（Ⅱ）函数y=f（x）恒具有性质M，
即关于x的方程f（x+1）=f（x）+f（1）（*）恒有解．
若f（x）=a^x，则方程（*）可化为a^x+1=a^x+a，
化简得（a-1）a^x=a，即a^x=$\frac{a}{a-1}$，
①当0＜a＜1时，$\frac{a}{a-1}$＜0，所以方程（*）无解，
因此，f（x）=a^x不具备性质M；
②当a＞1时，$\frac{a}{a-1}$＞0，由于a^x∈（0，+∞），
所以，必存在x₀∈R，使得${a}^{{x}_{0}}$=$\frac{a}{a-1}$，即x₀=$lo{g}_{a}\frac{a}{a-1}$，
所以，所以方程（*）必有解，因此，f（x）=a^x具备性质M．
综合以上讨论得，当a∈（0，1），f（x）不具有性质M，当a∈（1，+∞），f（x）具有性质M．

点评 本题主要考查了抽象函数及其运算，涉及指数的运算性质和方程根的确定，属于中档题．