Question

9．设$f（x）={2^{{x^2}-2x+3}}（x≥1）$，则其反函数f^-1（x）=$\sqrt{lo{g}_{2}x-2}+1$（x≥4）．

Answer 1

分析 先求出原函数的定义域[4，+∞），再通过配方和开方分离x，求得其反函数．

解答 解：∵y=f（x）=${2}^{x^2-2x+3}$=${2}^{（x-1）^2+2}$，
∴y∈[4，+∞），这是其反函数f^-1（x）的定义域，
且指数（x-1）²+2=log₂y，
所以，（x-1）²=log₂y-2，其中x≥1，
两边开方解出x得，x=$\sqrt{lo{g}_{2}y-2}$+1，
交换x，y得到其反函数f^-1（x）=$\sqrt{lo{g}_{2}x-2}+1$（x≥4），
故答案为：f^-1（x）=$\sqrt{lo{g}_{2}x-2}+1$（x≥4）．

点评 本题主要考查了反函数的求法，涉及指数式与对数式的相互转化，以及原函数与反函数定义域与值域之间的关系，属于中档题．