Question

9．在△ABC中，已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinB，1），$\overrightarrow{b}$=（cosA，sin（A+C）），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．
（I）求角A；
（Ⅱ）若BC=$\sqrt{21}$，△ABC的面积是$\sqrt{3}$，若AB＜AC，求AB．

Answer 1

分析 （I）利用平面向量数量积的运算可得：sinB（2cosA+1）=0，B为三角形内角，sinB≠0，解得cosA=-$\frac{1}{2}$，结合A∈（0，π），可得A的值．
（Ⅱ）由余弦定理可得：21=（AB+AC）²-AB•AC，①，由三角形面积公式可得AB•AC=4，②，②代入①可得：AB+AC=5，③
由AB＜AC，联立②③即可解得AB的值．

解答 解：（I）∵向量$\overrightarrow{a}$=（2sinB，1），$\overrightarrow{b}$=（cosA，sin（A+C）），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2sinBcosA+sin（A+C）=0，即sinB（2cosA+1）=0，
∵sinB≠0，
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，结合A∈（0，π），可得：A=$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）∵BC=$\sqrt{21}$，由余弦定理可得：21=AB²+AC²-2AB•AC•cosA=AB²+AC²+AB•AC=（AB+AC）²-AB•AC，①
∵△ABC的面积是$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$AB•AC•sinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB•AC，解得：AB•AC=4，②
∴②代入①可得：AB+AC=5，③
∴由AB＜AC，联立②③可解得：AB=1．

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角形内角和定理，三角形面积公式，余弦定理的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．