Question

6．已知函数f（x）=log₂$\frac{1+ax}{x-1}$（a为常数）是奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若当x∈（1，3]时，f（x）＞m恒成立．求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据奇函数的性质即可求出a的值，
（Ⅱ）先判读函数f（x）的单调性，再求出最值即可得到m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=log₂$\frac{1+ax}{x-1}$是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴log₂$\frac{1-ax}{-x-1}$=-log₂$\frac{1+ax}{x-1}$，即log₂$\frac{ax-1}{x+1}$=$\frac{x-1}{1+ax}$，
∴a=1，
（Ⅱ）由题意：m＜log₂$\frac{x+1}{x-1}$在x∈（1，3]时恒成立．
设1＜x₁＜x₂≤3，
∴g（x₁）-g（x₂）=$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}$-$\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，
∵x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，
∴g（x）在（1，3]上为减函数，
∴f（x）=log₂g（x）在（1，3]上为减函数上为减函数．
当x=3时，f（x）有最小值，即f（x）_min=1，
故m＜1．

点评 本题考查了函数的奇偶单调性以及参数的取值范围，属于基础题．