Question

3．已知函数f（x）=3sinωxcosx+$\sqrt{3}$cos²ωx（ω＞0）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，将函数f（x）的图象向左平移φ （φ＞0）个单位后，得到的函数图形的一条对称轴为x=$\frac{π}{8}$，则φ的值不可能为（　　）

• A． $\frac{5π}{24}$
• B． $\frac{13π}{24}$
• C． $\frac{17π}{24}$
• D． $\frac{23π}{24}$

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、图象的对称性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答 解：已知函数f（x）=3sinωxcosx+$\sqrt{3}$cos²ωx=$\frac{3}{2}$sin2ωx+$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2ωx}{2}$
=$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的最小正周期为$\frac{π}{2}$，
故$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2，f（x）=$\sqrt{3}$sin（4x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
将函数f（x）的图象向左平移φ个单位后得到g（x）=$\sqrt{3}$sin[4（x+φ）+$\frac{π}{6}$]+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 
=$\sqrt{3}$sin（4x+4φ+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的图象．
因为函数g（x）的一条对称轴为x=$\frac{π}{8}$，故4•$\frac{π}{8}$+4φ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，
解得 φ=$\frac{kπ}{4}$-$\frac{π}{24}$，k∈Z，
故选：B．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、图象的对称性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．