Question

8．已知f（x）=x²-a|x-1|-1，a∈R．
（1）当a=0时，判断函数f（x）的奇偶性，并用定义证明；
（2）若f（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范围；
（3）写出f（x）在[-2，2]上的最大值g（a）．（不需要解答过程）

Answer 1

分析 （1）验证f（-x）=f（x）即可；
（2）f（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，则x²-a（x-1）-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，分类讨论，即可求a的取值范围；
（3）分类讨论，去掉绝对值符号，即可写出f（x）在[-2，2]上的最大值g（a）．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=x²-1，
∵f（-x）=（-x）²-1=x²-1=f（x），
∴函数f（x）是偶函数；
（2）f（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，则x²-a（x-1）-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
x=1时，成立；
x≠1时，a≤x+1对x∈（1，+∞）恒成立，∴a≤2，
∴f（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，a≤2；
（3）-2≤x≤1时，f（x）=x²⁺ax-a-1
a≤-1时，g（a）=f（1）=0，a＞-1时，g（a）=f（-2）=3+3a；
1＜x≤2时，f（x）=x²+ax-a-1
a≥-3时，g（a）=f（1）=0，a≤-3时，g（a）=f（-2）=3+3a．

点评 本题考查函数的性质，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．