Question

12．函数f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（ωx+φ），x∈R，其中a，b，ω都为正数，在一个周期内的图象如图，满足f（x）＜$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{10}$的x的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2kπ），k∈Z
• B． （2kπ-π，2kπ），k∈Z
• C． （2kπ-2π，2kπ），k∈Z
• D． （2kπ-$\frac{4π}{3}$，2kπ），k∈Z

Answer 1

分析 根据三角函数的图象确定函数的解析式，结合三角函数的性质解不等式即可．

解答 解：由图象知函数的最大值为5，即$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=5，则a²+b²=25，
$\frac{T}{2}$=$\frac{4π}{3}-\frac{π}{3}=π$，即函数的周期T=2π=$\frac{2π}{ω}$，即ω=1，
即f（x）=5sin（x+φ），
∵f（$\frac{π}{3}$）=5sin（$\frac{π}{3}$+φ）=5，∴sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
即$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，即φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，
则f（x）=5sin（x+$\frac{π}{6}$+2kπ）=5sin（x+$\frac{π}{6}$），
则不等式f（x）＜$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{10}$等价为5sin（x+$\frac{π}{6}$）＜$\frac{25}{10}$=$\frac{5}{2}$，即sin（x+$\frac{π}{6}$）＜$\frac{1}{2}$，
2kπ-$\frac{7π}{6}$＜x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
即2kπ-$\frac{4π}{3}$＜x＜2kπ，k∈Z，
故选：D．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用图象确定A，ω和φ的值是解决本题的关键．