Question

17．α是方程x+lgx=3的根，β是方程x+10^x=3的根，则α+β=3．

Answer 1

分析 根据题意，构造两函数f（x）=lgx，f^-1（x）=10^x，由反函数图象间的对称关系得出α+β=3．

解答 解：第一个方程可化为：lgx=3-x，
第二个方程可化为：10^x=3-x，
记f（x）=lgx，则其反函数f^-1（x）=10^x，
它们的图象关于直线y=x轴对称，
根据题意，α，β为f（x），f^-1（x）的图象与直线y=3-x交点A，B的横坐标，
由于两交A，B点关于直线y=x对称，
所以，B点的横坐标β就是A点的纵坐标，即A（α，β），
将A（α，β）代入直线y=3-x得，α+β=3，
故答案为：3．

点评 本题主要考查了互为反函数图象间对称性的应用，涉及指数函数与对数函数图象的对称性，以及坐标之间的关系，属于中档题．