Question

5．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1的右焦点，倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求|AB|；
（3）求△AF₁B的周长．

Answer 1

分析 （1）确定直线AB的方程，代入双曲线方程，求出A，B的坐标．
（2）利用A，B的坐标，即可求线段AB的长；
（3）利用距离公式，直接求△AF₁B的周长．

解答 解：（1）由双曲线的方程得F₁（-3，0），F₂（3，0），直线AB的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3）①
将其代入双曲线方程消去y得，5x²+6x-27=0，解之得x₁=-3，x₂=$\frac{9}{5}$．
将x₁，x₂代入①，得y₁=-2$\sqrt{3}$，y₂=-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$
∴A（-3，-2$\sqrt{3}$），B（$\frac{9}{5}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$）．
（2）由A（-3，-2$\sqrt{3}$），B（$\frac{9}{5}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$）．
故|AB|=$\sqrt{{（-3-\frac{9}{5}）}^{2}+{（-2\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{5}）}^{2}}$=$\frac{16}{5}\sqrt{3}$．
（3）周长=|AB|+|AF₁|+|BF₁|=$\frac{16}{5}\sqrt{3}$+$\sqrt{{（-3+3）}^{2}+{（-2\sqrt{3}+0）}^{2}}$+$\sqrt{{（-3+\frac{9}{5}）}^{2}+{（0+\frac{2\sqrt{3}}{5}）}^{2}}$=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．