Question

15．已知实数x，y满足2x+y+5=0，那么$\sqrt{2{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值为$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由2x+y+5=0，得：y=-2x-5，代入消元，结合二次函数的图象和性质，可得$\sqrt{2{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值．

解答 解：∵2x+y+5=0，
∴y=-2x-5，
∴$\sqrt{2{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}+{（-2x-5）}^{2}}$=$\sqrt{6{x}^{2}+20x+25}$，
当x=-$\frac{5}{3}$时，6x²+20x+25取最小值$\frac{25}{3}$，
此时$\sqrt{2{x}^{2}+{y}^{2}}$取最小值$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{5\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．