Question

6．任取k∈[-1，1]，直线L：y=kx+3与圆C：（x-2）²+（y-3）²=4相交于M、N两点，则|MN|≥2$\sqrt{3}$的概率为 （　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 直线与圆相交，有两个公共点，设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则可构建直角三角形，从而将问题仍然转化为点线距离问题．然后结合几何概型的概率公式进行求解即可．

解答 解：由圆的方程得：圆心（2，3），半径r=2，
∵圆心到直线y=kx+3的距离d=$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，|MN|≥2$\sqrt{3}$，
∴2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$≥2$\sqrt{3}$，
变形整理得4k²+4-4k²≥3k²+3，即${k}^{2}≤\frac{1}{3}$
解得：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴k的取值范围是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．
则对应|MN|≥2$\sqrt{3}$的概率P=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}-（-\frac{\sqrt{3}}{3}）}{1-（-1）}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故选A

点评 本题主要考查几何概型的计算，根据直线和圆的位置关系求出|MN|≥2$\sqrt{3}$对应的k的取值范围是解决本题的关键．