Question

16．函数y=$\frac{{x}^{2}+2}{x-1}$（x＞1）的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$+2
• D． 2$\sqrt{3}$-2

Answer 1

分析 令t=x-1（t＞0），即有x=t+1，则y=$\frac{（t+1）^{2}+2}{t}$=t+$\frac{3}{t}$+2，运用基本不等式即可得到所求最小值，注意等号成立的条件．

解答 解：令t=x-1（t＞0），即有x=t+1，
则y=$\frac{（t+1）^{2}+2}{t}$=t+$\frac{3}{t}$+2
≥2$\sqrt{t•\frac{3}{t}}$+2=2$\sqrt{3}$+2，
当且仅当t=$\frac{3}{t}$，即t=$\sqrt{3}$，x=1+$\sqrt{3}$时，取得最小值2+2$\sqrt{3}$．
故选C．

点评 本题考查函数的最小值的求法，注意运用换元法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．