Question

9．已知函数f（x）=ax²-1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，若数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₂的值为$\frac{2012}{4025}$．

Answer 1

分析 由题意和求导公式得f′（x）=2ax，由切线l与直线8x-y+2=0平行求出a的值，代入f（x）求出f（n），再化简$\frac{1}{f（n）}$利用裂项相消法求出S₂₀₁₂的值．

解答 解：由题意得，f′（x）=2ax，
∵在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x-y+2=0平行，
∴f′（1）=2a=8，解得a=4，
则f（x）=4x²-1，即f（n）=4n²-1=（2n-1）（2n+1），
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴S₂₀₁₂=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2×2012-1}-\frac{1}{2×2012+1}$）]
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{4025}$）=$\frac{2012}{4025}$，
故答案为：$\frac{2012}{4025}$．

点评 本题考查裂项相消法求数列的和，以及导数的几何意义，属于中档题．