Question

已知常数a＞0，向量

c

=（0，a），

i

=（1，0），经过原点O以

c

+λ

i

，为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i-2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：根据

c

和

i

，求得

c

+λ

i

和

i

-2λ

c

进而可得直线OP和AP的方程，消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程，进而整理可得关于x和y的方程，进而看当a=

2

2

时，方程为圆不符合题意；当0＜a＜

2

2

时和当a＞

2

2

时，P的轨迹为椭圆符合两定点．

解答：解：∵i=（1，0），c=（0，a），
∴c+λi=（λ，a），i-2λc=（1，-2λa）．
因此，直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y-a=（-2λa-a）x．
消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y-a）=-2a²x²．
整理得

x2

1 8

+

(y- a 2 )2

( a 2 )2

=1．①
因为a＞0，所以得：
（i）当a=

2

2

时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ii）当0＜a＜

2

2

时，方程①表示椭圆，焦点E(

1

2

1 2 -a2

，

a

2

)和F(-

1

2

1 2 -a2

，

a

2

)为合乎题意的两个定点；
（iii）当a＞

2

2

时，方程①也表示椭圆，焦点E(0，

1

2

(a+

a2- 1 2

))和F(0，

1

2

(a-

a2- 1 2

))为合乎题意的两个定点．

点评：本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力．