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已知常数a>0,向量=(0,a),=(1,0),经过原点O以,为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i-2λc为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R.试问:是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】分析:根据,求得-2λ进而可得直线OP和AP的方程,消去参数λ,得点P(x,y)的坐标满足方程,进而整理可得关于x和y的方程,进而看当时,方程为圆不符合题意;当时和当时,P的轨迹为椭圆符合两定点.
解答:解:∵i=(1,0),c=(0,a),
∴c+λi=(λ,a),i-2λc=(1,-2λa).
因此,直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y-a=(-2λa-a)x.
消去参数λ,得点P(x,y)的坐标满足方程y(y-a)=-2a2x2
整理得.①
因为a>0,所以得:
(i)当时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点E和F;
(ii)当时,方程①表示椭圆,焦点为合乎题意的两个定点;
(iii)当时,方程①也表示椭圆,焦点为合乎题意的两个定点.
点评:本题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法,椭圆的方程和性质,利用方程判定曲线的性质,曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知常数a>0,向量
c
=(0,a),
i
=(1,0),经过原点O以
c
i
,为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i-2λc为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R.试问:是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知常数a>0,向量
m
=(0,a),
n
=(1,0)经过定点A(0,-a)以
m
+λ
n
为方向向量的直线与经过定点B(0,a)以
n
+2λ
m
为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R.
(I)求点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)若a=
2
2
,过E(0,1)的直线l交曲线C于M、N两点,求
EM
EN
的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知常数a>0,向量
m
=(0,a),
n
=(1,0),经过定点A(0,-a)以
m
n
为方向向量的直线与经过定点B(0,a)以
n
+2λ
m
为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R.求动点P所形成的曲线C的方程.

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科目:高中数学 来源:2003年江苏省高考数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知常数a>0,向量=(0,a),=(1,0),经过原点O以,为方向向量的直线与经过定点A(0,a)以i-2λc为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R.试问:是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由.

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