Question

已知常数a＞0，向量

m

=（0，a），

n

=（1，0）经过定点A（0，-a）以

m

+λ

n

为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以

n

+2λ

m

为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．
（I）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若a=

2

2

，过E（0，1）的直线l交曲线C于M、N两点，求

EM

•

EN

的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用向量共线定理和坐标运算即可得出；
（II）对直线l的斜率分类讨论，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1与双曲线的方程联立，即可得到根与系数的关系，再利用向量的数量积和对k分类讨论即可得出．

解答：解：（I）设P（x，y），∴

AP

=(x，y+a)，

BP

=(x，y-a)．
又

m

+λ

n

=（0，a）+λ（1，0）=（λ，a），

n

+2λ

m

=（1，0）+2λ（0，a）=（1，2λa），
∵（

m

+λ

n

）∥

AP

，（

n

+2λ

m

）∥

BP

，
∴xa-λ（y+a）=0，2λax-（y-a）=0，
消去参数λ得y²-2a²x²=a²．
化为

y2

a2

-

x2

1 2

=1．
（II）当a=

2

2

时，点P的轨迹方程为

y2

1 2

-

x2

1 2

=1.c=

1 2 + 1 2

=1．
∴E（0，1）为双曲线的一焦点．
①当直线l的斜率不存在时，其方程为x=0，l与双曲线分别相较于点M(0，

2

2

)，N(0，-

2

2

)．此时

EM

•

EN

=(0，

2

2

-1)•(0，-

2

2

-1)=

1

2

．
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+1，代入双曲线得2（k²-1）x²+4kx+1=0，
∵l与双曲线交于两点，∴△=16k²-8（k²-1）＞0，且k²-1≠0．
设两交点为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
则x1+x2=

-2k

k2-1

，x1x2=

1

2(k2-1)

．
∴

EM

•

EN

=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=x1x2+k2x1x2=(1+k2)•

1

2(k2-1)

=

1

2

(1+

2

k2-1

)．
当-1＜k＜1时，k²-1＜0，则

EM

•

EN

≤-

1

2

，
当k＜-1或k＞1时，k²-1＞0，故

EM

•

EN

＞

1

2

．
综上所述：

EM

•

EN

的取值范围是(-∞，-

1

2

]∪[

1

2

，+∞)．

点评：熟练掌握向量共线定理和坐标运算、分类讨论、直线与双曲线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的数量积运算等是解题的关键．